Préparer les ECRITS et les LECONS en même temps

101 : Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.

EXTRAIT 2012 : "Ce sujet amène inévitablement la question de savoir si les sous-groupes d'un groupe monogène sont monogènes ; l'étude des sous-groupes de Z/mZ peut éventuellement amener à considérer l'indicateur d'Euler."

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Cette leçon nécessite quelques exemples, notamment dans un contexte géométrique qui permet de faire quelques dessins."

EXTRAIT RAPPORT 2010 : "il convient de donner des exemples autres que dans Z (sous groupes de (K[X], +), de (R, +), etc.). On apprécierait des exemples de groupes non monogènes à la fois dans le cas commutatif et non commutatif. Il faut ici maitriser les techniques de calcul telles que le calcul de phi(n) et éviter les développements sans grand rapport avec le sujet tels que le théorème de Wilson. On peut aussi évoquer une condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe soit cyclique, les sous-groupes d'un groupe cyclique, etc. Enfin, les sous-groupes de R, trop souvent évoqués et d'un intérêt limité par rapport à la situation, ont maintes fois donné lieu à des démonstrations peu rigoureuses."

102 : Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique. Applications

EXTRAIT 2010 : "les exemples d'applications de ces groupes aux déplacements et/ou isométries sont souvent évoqués mais les candidats arrivent rarement à les interpréter ; par ailleurs l'étude du groupe des isométries qui conservent un tétraèdre régulier peut faire l'objet d'un développement intéressant."

103 : Anneau Z/nZ. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Le « lemme chinois » mérite d'être présenté avec assez de détails : cas d'une congruence simultanée de plus de deux équations, calcul explicite d'une solution du système, etc."

104 : Nombres premiers. Propriétés et applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Ce sujet a donné lieu à nombre d'exposés sans relief ou entachés d'erreurs (notamment à propos du crible d'Eratosthène) mais aussi à quelques très bonnes prestations combinant des aperçus historiques et des notions plus avancées comme les corps finis."

106 : PGCD dans Z et K[X], où K est un corps commutatif, théorème de Bézout. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "On évitera de se limiter aux PGCD de deux polynômes, notamment pour le théorème de Bézout."

107 : Dimension d'un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d'une famille de vecteurs.


EXTRAIT 2012 : "Ce sujet est réellement vaste ; il peut être avantageux de considérer les notions de famille libre et famille génératrice comme des prérequis, mais le lien entre ces notions ne peut être éludé."

EXTRAIT RAPPORT 2011 : " Le lien entre familles génératrices et familles libres doit être évidemment abordé."

109 : Formes linéaires, hyperplans, dualité. On se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie. Exemples.

110 : Polynômes d'endomorphismes en dimension finie. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Le polynôme minimal n'est pas le seul polynôme annulateur à considérer, et il n'est parfois pas le plus simple (considérer, par exemple, un endomorphisme de permutation dans l'espace Rn)."

112 : Changements de bases en algèbre linéaire. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Des exemples convaincants sont ici attendus."

113 : Déterminants. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Ce sujet a donné lieu à un excellent exposé montrant des applications fort diverses (matrices de Gram, jacobien, etc.)."

EXTRAIT 2010 : "voilà typiquement une leçon où les applications ont été souvent sacrifiées au profit d'une fastidieuse suite de définitions et propositions théoriques. Il faut donc éviter de se perdre en préambules théoriques, mais définir clairement le déterminant d'une matrice carrée. La démonstration de légalité det(AB) = det(A) det(B) a mis plusieurs candidats en difficulté ; on attend une méthode simple ! Dans cette leçon on attend quelques calculs de déterminants ; le déterminant de Vandermonde, pourtant très connu, a plongé quelques candidats dans l'embarras. Les calculs de polynômes caractéristiques peuvent former de bons exemples, mais ne sauraient être les seuls. Il convient aussi de s'interroger sur le calcul effectif, en pratique, des déterminants : la comparaison entre la méthode du pivot (qui doit être mentionnée) et la méthode du développement par cofacteurs est instructive. On peut aussi proposer des applications géométriques telles que des calculs de volumes et d'aires ou des orientations du plan ou de l'espace."

114 : Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d'une matrice. Applications. Illustration algorithmique.

EXTRAIT 2010 : "le jury attend le recensement des propriétés invariantes par ces opérations élémentaires. On aimerait aussi que soient citées les opérations minimales, c'est-à-dire celles qui engendrent les autres. Le théorème de Gauss-Jordan, qui conduit à l'équivalence de toute matrice de rang r de Mn,p(K) avec une matrice canonique Jn,p,r, doit conduire à plusieurs applications et peut être démontré de diverses manières. Cette leçon doit aborder la question des algorithmes de calcul, sans nécessairement entrer dans les détails."

117 : Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3.

119 : Utilisation des nombres complexes en géométrie.

120 : Endomorphismes symétriques d'un espace vectoriel euclidien. Applications.

121 : Réduction et classification des formes quadratiques sur un espace vectoriel réel de dimension finie. Cas d'un espace euclidien. Applications géométriques.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Le lien entre formes quadratiques et opérateurs autoadjoints est au coeur de cette leçon ; il n'a pas toujours été bien compris..."

123 : Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "L'étude des isométries conservant un polygone régulier est intéressante mais doit être bien précisée : s'agit-il de la conservation des sommets, arêtes ou de l'enveloppe convexe ?"

125 : Isométries de l'espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites. Applications.

128 : Barycentres. Applications.

EXTRAIT 2013 : ": Ce sujet est intimement lié à la notion de convexité, ce qui ouvre vers des applications importantes : enveloppe convexe, projection sur un convexe, ..."

EXTRAIT 2010 : "ici aussi les applications manquent : on pourrait évoquer la détermination de lignes de niveau, ou encore le théorème de Gauss-Lucas (relatif à l'enveloppe convexe)."

131 : Applications affines en dimension finie. Propriétés et exemples.

137 : Droites et cercles dans le plan affine euclidien.

142 : Utilisation de groupes en géométrie.

EXTRAIT 2010 : "se limiter à une présentation du groupe des homothéties et translations est très insuffisant ; on attend ici quelques situations précises où les groupes interviennent (on pourra penser aux frises et pavages)."

143 : Polynômes à une indéterminée à coefficients réels ou complexes.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : " Cette leçon nécessite d'introduire la notion de racine d'un polynôme. Elle a permis à plusieurs candidats de briller, par exemple avec le théorème de Gauss-Lucas sur les racines du polynôme dérivé ou encore l'approximation de fonctions régulières par des polynômes."

144 : Notion de rang en algèbre linéaire et bilinéaire. Applications.

146 : Coniques.

150 : Diverses factorisations de matrices. Applications.

151 : Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

EXTRAIT 2010 : "La décomposition de Dunford pourrait faire l'objet d'un développement consistant à condition d'être bien maitrisée. Le calcul des puissances d'une matrice ne doit pas être la seule application proposée."

155 : Systèmes linéaires. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Cette leçon repose, fondamentalement, sur la notion de rang qui doit donc être évoquée sans tarder. On doit aussi mettre en valeur l'interprétation des systèmes d'équations linéaires en termes d'images réciproques par une application linéaire. La comparaison de différentes méthodes de résolution (y compris les méthodes du pivot) est également attendue."

156 : Valeurs propres. Recherche et utilisation.

EXTRAIT 2010 : "le théorème de d'Alembert concernant les racines d'un polynôme complexe a plusieurs fois été confondu avec celui de Cayley-Hamilton."

158 : Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Quelques exemples sont ici indispensables pour donner à ces notions un peu de consistance : théorie des groupes, géométrie, combinatoire, algèbre linéaire..."

EXTRAIT 2010 : "avant de s'engager dans des notions délicates, il serait préférable de bien comprendre le lien entre les automorphismes intérieurs et la similitude de matrices carrées de taille 2 ou 3."

159 : Algorithme d'Euclide dans Z et K[X] où K est un corps commutatif. Calcul de PGCD et de coefficients de Bézout. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Cette leçon n'a pas été un grand succès. Il convient de passer assez rapidement sur la définition du PGCD (comme générateur de l'idéal engendré) et d'aborder avec précision la structure algorithmique proprement dite, avec les questions que cela soulève (nombre maximal d'étapes de l'algorithme, applications non triviales).

163 : Endomorphismes diagonalisables. Exemples et applications.

165 : Idéaux d'un anneau commutatif. Exemples.

166 : Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.

167 : Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.

168 : Racines d'un polynôme à une indéterminée. Relations coefficients-racines.

169 : Structures quotients dans divers domaines de l'algèbre. Applications.

301 : Exercices sur les groupes.

302 : Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z

304 : Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.

EXTRAIT 2011 : "Ce sujet ne doit pas se limiter à des situations issues de l'arithmétique entière et devrait comporter au moins une partie d'algèbre linéaire."

305 : Exercices faisant intervenir les nombres premiers

EXTRAIT 2010 : "les définitions intervenant dans les propriétés énoncées doivent être connues. Les propriétés sur les congruences doivent rapidement pouvoir être démontrées. Le théorème de Wilson ne constitue pas un test de primalité particulièrement efficace."

306 : Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM.Illustration algorithmique.

EXTRAIT 2011 : "Les algorithmes attendus ne se limitent pas à l'algorithme d'Euclide, certains candidats proposent le calcul des coefficients de l'identité de Bézout (permettant la recherche de l'inverse d'un élément dans un anneau de classes résiduelles), parfois illustré d'une mise en oeuvre informatique. On mentionne, beaucoup plus rarement, la recherche des décompositions en éléments simples des fractions rationnelles."

307 : Exercices faisant intervenir des dénombrements.

EXTRAIT 2011 : "Les exercices portant sur les coefficients binomiaux ne sont pas tous a priori des exercices de dénombrement : encore faut-il mettre en évidence la situation de dénombrement associée à la formule visée !"

309 : Exercices faisant intervenir des polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.

EXTRAIT 2011 : "Le jury a entendu avec plaisir une présentation de l'application des polynômes à la recherche des polygones réguliers. Quelques évocations du polynôme minimal d'une matrice ont varié le menu, il eût même été possible d'aborder le polynôme minimal d'un élément algébrique sur un corps."

EXTRAIT 2010 :"des calculs sur les polynômes caractéristiques de matrices par blocs ont été effectués mais sans rigueur."

voir leçon 310

310 : Exercices d'algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes

311 : Exercices illustrant l'utilisation de la notion de rang.

312 : Exercices illustrant l'utilisation des matrices inversibles.

EXTRAIT 2011 : "On aurait ici souhaité entendre quelques raisonnements par densité. L'inversion proprement dite d'une matrice peut être fastidieuse si elle n'est pas habilement conduite, ce qui peut justifier l'usage d'un logiciel de calcul numérique ou formel."

313 : Exercices illustrant l'utilisation de systèmes linéaires

EXTRAIT 2010 : il est parfois difficile aux candidats de repérer les vecteurs propres évidents, la résolution de système linéaire étant leur première et parfois unique approche."

314 : Exercices illustrant l'utilisation de déterminants.

EXTRAIT 2011 : "Les exercices choisis pour ce sujet furent souvent originaux mais pas toujours correctement maîtrisés (le calcul des déterminants est un sujet potentiellement très technique). L'usage de corps finis a permis de renouveler quelque peu ce sujet, il convenait toutefois de s'assurer que la caractéristique du corps était différente de 2."

315 : Exercices illustrant l'utilisation de vecteurs propres et valeurs propres dans des domaines variés.

EXTRAIT 2011 : "Un candidat, qui voulait illustrer ce sujet par un système différentiel linéaire à coefficients constants, s'est enlisé dans des détails techniques mal maîtrisés. Il convenait de mieux préparer la démarche de résolution voire d'utiliser les logiciels mis à disposition."

317 : Exercices sur les endomorphismes diagonalisables.

EXTRAIT 2012 : "On peut, pour ce sujet comme pour le 315 (valeurs propres), s'intéresser au nouveau programme de spécialité en série S qui aborde ces questions à travers les itérations d'une transformation matricielle (ou application linéaire)."

EXTRAIT 2011 : "Ce sujet a été brillamment illustré par un candidat qui a choisi de s'appuyer sur une situation issue de la Physique avec une utilisation judicieuse d'un logiciel de géométrie dynamique. Un autre candidat a fait preuve d'originalité en s'attaquant à une diagonalisation sur un corps fini ! En sens inverse, le calcul d'un polynôme caractéristique suivi de la recherche des éléments propres présentent peu d'intérêt quand un système de calcul formel peut accomplir les mêmes tâches en peu de temps ; ce type d'illustration n'a d'attrait que si l'ordinateur n'en vient pas à bout."

EXTRAIT 2010 : "des calculs sur les polynômes caractéristiques de matrices par blocs ont été effectués mais sans rigueur."

319 : Exercices faisant intervenir des décompositions de matrices. Illustration algorithmique.

321 : Exercices faisant intervenir la réduction des matrices symétriques réelles dans des domaines variés.

EXTRAIT 2011 : "On attend ici au moins une évocation des coniques, voire des quadriques (dont il faut savoir donner une définition raisonnable)."

EXTRAIT 2010 : "on pouvait évoquer la recherche des axes de symétrie pour les coniques et quadriques. L'usage d'un logiciel de calcul formel peut ici rendre quelques services."

322 : Exercices sur les formes quadratiques

323 : Exercices de géométrie résolus à l'aide des nombres complexes.

326 : Exercices faisant intervenir la notion de barycentre ou d'application affine.

EXTRAIT 2011 : "Les applications affines connues des candidats sont peu variées (essentiellement, des homothéties et translations, parfois quelques isométries). Le cas des symétries affines (comme celui des projections affines) peut donner lieu à de nombreux exemples et exercices intéressants, mais il faut pour cela en maîtriser la définition."

328 : Exemples d'utilisation de transformations en géométrie.

330 : Exercices faisant intervenir les angles et les distances en dimensions 2 et 3.

334 : Exercices sur les coniques

EXTRAIT 2010 : "un bon logiciel de géométrie dynamique (traitant aussi les coniques) permet de visualiser la situation proposée (à titre de conjecture ou de vérification) et parfois de définir les méthodes qui serviront pour la résolution."

voir aussi la leçon "Exercices sur les formes quadratiques"

339 : Exemples d'étude des isométries laissant invariante une partie du plan, une partie de l'espace.

EXTRAIT 2011 : "Certains candidats ont eu quelques difficultés avec ce sujet en raison d'une confusion latente entre isométries affines et isométries vectorielles. La différence apparait nettement lorsqu'interviennent les symétries glissées dans le plan ainsi que les déplacements hélicoïdaux (ou vissages) dans l'espace. De manière générale, la présence de translations dans les groupes de frises et de pavages est un élément incontournable."

EXTRAIT 2010 : "il convient de ne pas se limiter aux polygones et polyèdres réguliers ; des situations en lien avec les coniques, quadriques, ou encore les frises et pavages, permettent à ce sujet d'avoir beaucoup d'attrait. Certains logiciels permettent d'illustrer rapidement les groupes de transformations sous-jacents et leur action sur les figures."

340 : Exercices faisant intervenir des groupes en géométrie.

345 : Exercices sur les triangles.

EXTRAIT 2011 : "De trop nombreuses présentations de niveau collège. On suggère de renouveler ce thème avec un peu de théorie des groupes ou de calcul différentiel, par exemple..."

348 : Exercices illustrant l'emploi de puissances ou de l'exponentielles de matrices.

EXTRAIT 2015 : "Les sujets 348 (Exercices illustrant l'emploi de puissances ou d'exponentielles de matrices), et 353 (Exercices utilisant la notion d'endomorphisme nilpotent), ont trop souvent donné lieu à des exercices centrés sur la notion (voir remarque plus haut) et ont manqué d'applications de la notion."

349 : Exemples de méthodes de chiffrement ou de codage.

350 : Exercices faisant intervenir des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes d'une matrice. Illustration algorithmique.

351 : Exercices faisant intervenir des polynômes irréductibles.

353 : Exercices utilisant la notion d'élément nilpotent.

EXTRAIT 2015 : "Les sujets 348 (Exercices illustrant l'emploi de puissances ou d'exponentielles de matrices), et 353 (Exercices utilisant la notion d'endomorphisme nilpotent), ont trop souvent donné lieu à des exercices centrés sur la notion (voir remarque plus haut) et ont manqué d'applications de la notion."

354 : Exercices sur les cercles et les sphères.

355. Exercices faisant intervenir des automorphismes orthogonaux.

356 : Exercices utilisant les permutations d'un ensemble fini.

357 : Exercices utilisant le corps Z/pZ.

201 : Étude de suites numériques définies par différents types de récurrence. Applications.

202 : Séries à termes réels positifs. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "On suggère que les espaces probabilisés dénombrables fournissent de nombreux problèmes conduisant à des séries à termes positifs."

203 : Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus)

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Des exemples significatifs sont attendus pour concrétiser les définitions et propriétés ; on peut ainsi s'intéresser à l'espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète, ou encore au réarrangement des termes d'une série semi-convergente."

204 : Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "La limitation à la dimension finie a sa raison d'être (théorème de Riesz), il ne convient pas du tout d'aborder les espaces normés de dimension quelconque. En revanche, une interrogation sur les normes issues d'un produit scalaire a toute sa place ici."

205 : Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Application à l'approximation des fonctions.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Certains candidats ont cru qu'il s'agissait d'une leçon centrée sur la notion d'espace préhilbertien avec un long catalogue de définitions sans grand intérêt. Il s'agissait, en fait, de mettre en valeur la notion de projection orthogonale et des applications qui en résultent (séries de Fourier, polynômes orthogonaux, etc.)."

206 : Parties compactes de Rn. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples et applications.

EXTRAIT 2012 : "Cette leçon a donné lieu à des exposés assez réussis, avec des développements variés (théorème de d'Alembert-Gauss, projection sur un compact convexe, etc.)."

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Certains candidats ont cru bon de se placer dans des espaces vectoriels normés de dimension quelconque, ce qui n'apportait pas grand chose tout en soulevant quelques difficultés, notamment au plan des exemples."

EXTRAIT 2010 : "beaucoup de théorie mais peu de rigueur (la distance-produit par exemple n'est pas précisée) et peu d'exemples. En particulier, la notion d'uniforme continuité n'est généralement pas comprise, tandis qu'une question sur la compacité (ou non) de l'ensemble { 1/n / n ∈ N*} a causé quelques soucis..."

207 : Théorème des valeurs intermédiaires. Applications.

EXTRAIT 2012 : "Le théorème évoqué entraine l'existence de solutions pour certaines équations du type f (x) = 0, il convient alors d'évoquer quelques méthodes de résolution numérique de ces équations et de les comparer."

208 : Méthodes de recherche de points fixes.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "La méthode de Newton est un exemple intéressant d'application des méthodes de point fixe, mais il faut penser à donner des conditions suffisantes d'existence du point cherché."

209 : Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples

EXTRAIT 2010 :"plutôt qu'un catalogue de définitions et propriétés, il serait souhaitable d'exhiber des exemples/contre-exemples permettant de bien comprendre l'importance des hypothèses."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

210 : Séries entières de variable réelle ou complexe. Rayon de convergence. Propriétés de la somme. Exemples.

EXTRAIT 2012 : "La définition du rayon de convergence n'est pas bien comprise. Il convient de mettre en évidence ce qui peut se passer sur le cercle de convergence et comment on peut majorer ou minorer le rayon de convergence par application directe de la définition."

EXTRAIT 2011 : "Un candidat bien inspiré a pensé à proposer plusieurs exemples de séries entières issues des équations différentielles."

voir leçons 412, 413

212 : Série de Fourier d'une fonction périodique ; propriétés de la somme. Exemples.

EXTRAIT 2013 :" De trop nombreux candidats breux candidats n'ont pas compris ce qu'est une fonction de classe C1 par morceaux."

EXTRAIT 2011 :
"Le développement ne peut se limiter à la recherche des coefficients de Fourier d'une fonction plus ou moins simple et à l'application subséquente du théorème de Dirichlet. Par extension, on peut admettre des études de séries trigonométriques mais il faut alors se demander si ce sont des séries de Fourier (ou non) et de quelle fonction."

213 : Exponentielle complexe ; fonctions trigonométriques, nombre PI

EXTRAIT 2010 : "la définition de la fonction exponentielle complexe et ses conséquences doivent être bien appréhendées (penser aux matrices et aux méthodes de résolution approchée des équations différentielles). On attend aussi l'évocation de l'argument d'un nombre complexe."

215 : Comparaison d'une série et d'une intégrale. Applications.

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "Le jury a apprécié une très bonne prestation basée sur diverses applications (séries de Bertrand, constante d'Euler, formule de Stirling, fonction Zeta..."

216 : Théorèmes des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles. Applications.

217 : Fonctions convexes d'une variable réelle. Applications.

EXTRAIT 2011 : "Les prestations sur ce sujet ont été assez décevantes, avec peu d'exemples significatifs et des développements assez pauvres."

218 : Différentes formules de Taylor pour une fonction d'une variable réelle. Applications.

EXTRAIT 2011 : "Peut-être à la suite de mentions répétées dans les rapports des sessions antérieures, les candidats font maintenant correctement la différence entre les formules locales et les formules globales."

219 : Fonction réciproque d'une fonction définie sur un intervalle. Continuité, dérivabilité. Exemples

EXTRAIT 2013 : "Il peut être intéressant, du point de vue de la dérivabilité, de développer le point de vue des difféomorphismes entre intervalles réels."

EXTRAIT 2012 : "Cette leçon repose fondamentalement sur le théorème des valeurs intermédiaires. En application, il est intéressant de signaler qu'une fonction continue sur un intervalle est injective sur cet intervalle si et seulement si elle est strictement monotone (l'une des deux implications est un peu délicate)."

EXTRAIT 2010 :"on évitera de traiter cette leçon au niveau CAPES. L'interprétation géométrique n'est pas assez utilisée par les candidats (par exemple, pour étudier la concavité de la fonction réciproque d'une fonction convexe). On attend ici des exemples originaux autres que les fonctions sin, cos ou exp, par exemple les fonctions hyperboliques qui sont rarement évoquées comme exemples de fonctions dans les leçons d'analyse. On peut notamment donner des exemples dans le domaine des équations différentielles non linéaires ou celui des variables aléatoires à densité."

220 : Méthodes de calcul approché d'une intégrale. Majoration ou estimation de l'erreur.

EXTRAIT 2011 "Les méthodes probabilistes sont à envisager dès qu'il s'agit d'intégrales multiples."

221 : Intégrale impropre d'une fonction continue sur un intervalle de R (l'intégration sur un segment étant supposée connue). Exemples.

223 : Intégrale d'une fonction dépendant d'un paramètre. Propriétés, exemples et applications.

EXTRAIT 2013 : ": Les transformées de Fourier et de Laplace fournissent de bons exemples. Par ailleurs, cette leçon ne doit pas se limiter à des calculs explicites. En particulier, les études asymptotiques sont une source de développements intéressants."

224 : Équations différentielles linéaires d'ordre deux : x'' + a(t)x' + b(t)x = c(t), où a, b, c sont des fonctions continues sur un intervalle de R, à valeurs réelles ou complexes.

EXTRAIT 2011 : "Le développement ne peut se limiter à la résolution effective d'une équation scalaire à coefficients constants ; des études qualitatives de solutions, même simples,peuvent ici être proposées. De manière plus particulière, le wronskien est peu exploité et assez mal compris."

225 : Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants. Exemples

EXTRAIT 2010 :"un candidat a proposé un plan d'étude fondé sur l'exponentielle de matrice puis réalisé un développement n'utilisant pas l'exponentielle mais une autre technique ; il s'agit là d'un manque de cohérence."

voir leçons
429 "Exemples d'étude et de résolution de systèmes différentiels linéaires"
441 "Exemples de systèmes différentiels linéaires en dimension 2 ou 3. Allure des trajectoires"

227 : Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentiabilité, fonctions de classe C 1. Exemples.

228 : Extremums pour une fonction de plusieurs variables réelles.

229 : Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli. Variable aléatoire de loi binomiale et approximation de la loi binomiale.

EXTRAIT 2012 : "Dans les exposés ayant trait à la loi binomiale B(n; p) (229, 259), on peut évoquer les deux façons d' approximer celle-ci, soit par une loi de Poisson P(lambda) (si np tend vers lambda), soit par une loi normale avec le théorème de la limite centrale. Pour ces exposés comme pour ceux traitant de la loi normale (249), il est intéressant de mentionner les intervalles de confiance (qui figurent maintenant dans les programmes des classes de Première et de Terminale) voire quelques notions sur l' estimation."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

230 : Probabilité conditionnelle et indépendance. Variables aléatoires indépendantes. Variance, covariance. Exemples.

231 : Espérance, variance ; loi faible des grands nombres. Applications.

232 : Variables aléatoires possédant une densité. Exemples.

235 : Exponentielle de matrices. Applications.

237 : Construction de l'intégrale et lien avec les primitives.

EXTRAIT 2011 : "Cette leçon a parfois donné lieu à des exposés très longs, combinant une présentation de l'intégrale de Riemann avec un examen plus spécifique du rapport entre intégrales et primitives. Il était ici raisonnable de faire un choix et de considérer comme acquise la définition de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Par ailleurs, la définition des fonctions continues par morceaux a souvent posé problème, sans parler du cas des fonctions continues par morceaux sur un intervalle ouvert."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

241 : Diverses notions de convergence en analyse ou en probabilités. Exemples et applications.

244 : Inégalités en analyse ou en probabilités. Par exemple: Cauchy-Schwarz, Markov, Bessel, convexité ...

249 : Loi normale en probabilités et statistique.

EXTRAIT 2012 : "Dans les exposés ayant trait à la loi binomiale B(n; p) (229, 259), on peut évoquer les deux façons d' approximer celle-ci, soit par une loi de Poisson P(lambda) (si np tend vers lambda), soit par une loi normale avec le théorème de la limite centrale. Pour ces exposés comme pour ceux traitant de la loi normale (249), il est intéressant de mentionner les intervalles de confiance (qui figurent maintenant dans les programmes des classes de Première et de Terminale) voire quelques notions sur l' estimation."

EXTRAIT 2011 : "Le théorème de la limite centrée joue évidemment un rôle dans cette leçon, mais on devrait aussi le voir apparaitre ailleurs."

251 :Diverses méthodes de résolution approchée d'une équation numérique ou d'une équation différentielle.

254 : Algorithmes d'approximation du nombre PI

EXTRAIT 2010 : "on aimerait voir ici des interprétations géométriques des suites proposées lorsque cest possible"

256 : Vitesse de convergence. Méthodes d'accélération de convergence.

Vous avez largement de quoi faire avec [Dantzer] et [Rombaldi].

257 : Écriture décimale d'un nombre réel ; cas des nombres rationnels, ...

258 : Couples de variables aléatoires possédant une densité. Covariance. Exemples d'utilisation.

260 : Variables aléatoires discrètes, couples de variables aléatoires discrètes. Covariance. Exemples d'application.

263 : Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie.

264 : Fonctions développables en série entière. Exemples et applications.

265 : Inversion locale, difféomorphismes. Applications.

266 : Applications linéaires continues, normes associées. Exemples.

267 : La fonction Gamma.

402 : Exemples d'étude de suites ou de séries divergentes

EXTRAIT 2011 : "Certaines études de séries nécessitent une bonne maîtrise de la notion de suites équivalentes, ce qui n'a pas toujours été le cas. En cas de doute, une définition précise de l'équivalence de deux suites sera demandée. Un candidat a judicieusement utilisé un logiciel pour illustrer différents cas de convergence et de divergence de suites récurrentes du type un+1 = f(un) pour diverses fonctions f."

EXTRAIT 2015 : "Il ne faut pas se restreindre a priori aux suites et séries numériques (on peut donner des exemples à valeurs dans un espace vectoriel normé)."

403 : Exemples d'étude de suites définies par une relation de récurrence

EXTRAIT 2010 :"401-403-406-407-420 : les études numériques (pouvant s'appuyer sur l'usage d'un logiciel) sont ici appréciées. On pourrait évoquer les sommes de Riemann, l'estimation de la convergence de la méthode de Newton. La recherche d'équivalents est rarement maitrisée."

404 : Exemples d'étude de la convergence de séries numériques

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

405 : Exemples de calcul exact de la somme d'une série numérique

EXTRAIT 2011 : "Les exercices proposés ont été assez variés. Pour diversifier encore, on pourra songer aux situations probabilistes sur des espaces probabilisés dénombrables."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

407 : Exemples d'évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de sommes partielles de séries divergentes

EXTRAIT 2010 "401-403-406-407-420 : les études numériques (pouvant s'appuyer sur l'usage d'un logiciel) sont ici appréciées. On pourrait évoquer les sommes de Riemann, l'estimation de la convergence de la méthode de Newton. La recherche d'équivalents est rarement maitrisée."

408 : Exemples d'étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes

voir aussi leçon 404

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

409 : Exemples d'utilisation de polynômes en analyse.

EXTRAIT 2011 : "Les candidats qui ont choisi ce sujet en ont souvent tiré un bon parti ; un candidat s'est ainsi intéressé au calcul des polynômes de Legendre et de Tchebychef au moyen d'un système de calcul formel. Le lien avec les problèmes de plus courte distance et de meilleure approximation pourrait fournir d'autres applications."

EXTRAIT 2017 : "Le sujet 409 a été reformulé de la façon suivante : " Exemples d'utilisation de polynômes en analyse ". Il inclut bien sûr les polynômes orthogonaux du libellé précédent mais ouvre d'autres perspectives telles les courbes de Bézier ou les situations d'approximation en analyse, etc."

410 : Comparaison, sur des exemples, de divers modes de convergence d'une suite ou d'une série de fonctions

EXTRAIT RAPPORT 2011 : "La distinction entre convergence normale et convergence uniforme est ici importante et doit être maîtrisée."

411 : Exemples d'étude de fonctions définies par une série

EXTRAIT 2011 : "L'énoncé d'un théorème de dérivation terme à terme a fait buter plusieurs candidats."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

412 : Exemples de développements en série entière. Applications

EXTRAIT 2010 : "le choix d'une fonction rationnelle est pertinent à condition que la décomposition en éléments simples n'occupe pas la totalité du temps imparti."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

413 : Exemples d'applications des séries entières.

414 : Exemples de séries de Fourier et de leurs applications

EXTRAIT 2011 : "Ce sujet a donné lieu à de bonnes prestations ; le théorème de Fejer a été plusieurs fois proposé, c'est une démarche qui peut être longue si elle n'est pas efficacement conduite."

415 : Exemples d'applications du théorème des accroissements finis et de l'inégalité des accroissements finis pour une fonction d'une ou plusieurs variables réelles

EXTRAIT 2011 : "Ce sujet a souvent donné lieu à des exercices très proches du cours, peu intéressants en soi ; on déplore l'oubli presque systématique des fonctions de plusieurs variables . On pouvait, par exemple, s'intéresser à des suites récurrentes dans R ou R2."

417 : Exemples illustrant l'approximation de fonctions numériques.

EXTRAIT 2011 : "Encore un sujet de nature à étudier et mettre en oeuvre des algorithmes, ce qu'on souhaite voir plus souvent."

EXTRAIT 2010 : "dans ce sujet on évitera de faire un cours sur l'approximation des fonctions par des polynômes et on insistera sur l'utilisation des approximations citées (nombre PI, approximation uniforme, calcul approché dune intégrale par la méthode de Gauss, etc.)."

418 : Exemples d'utilisation de développements limités de fonctions d'une ou plusieurs variables

EXTRAIT 2011 : "Les situations provoquant des recherches de développements limités sont trop souvent artificielles. On pouvait s'intéresser aux études de points singuliers de courbes planes paramétrées, ou au positionnement du plan tangent à une surface, ou encore aux suites de racines (xn) d'une équation dépendant d'un entier n."

421 : Exemples de calcul exact ou de calcul approché de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Illustration algorithmique.

EXTRAIT 2011 : "Proposer une valeur approchée pour une intégrale n'a pas de sens si on ne donne pas une majoration de l'erreur."

422 : Exemples d'étude d'intégrales impropres

EXTRAIT 2011 : "Les exercices présentés ont parfois donné lieu à des ambiguïtés (intégration au sens de Riemann ou de Lebesgue) voire à des erreurs. Pour varier un peu, signalons que certaines situations probabilistes (liées aux lois normale, de Laplace, Gamma) fournissent des exemples intéressants."

423 : Exemples d'utilisation des théorèmes de convergence dominée et de convergence monotone

426 : Exemples d'utilisation d'intégrales simples et multiples : calculs de longueurs, d'aires, de volumes, ...

427 : Exemples d'étude de fonctions définies par une intégrale.

EXTRAIT 2011 : "Plusieurs candidats ont eu de la peine à citer un théorème de changement de variables pour une intégrale simple avec les bonnes hypothèses (ce qui nécessite du soin dans le cas des fonctions continues par morceaux)."

428 : Exemples d'étude et de résolution exacte ou approchée d'équations différentielles scalaires.

EXTRAIT 2011 : "On attendait ici au moins un exemple d'application de la méthode de variation des constantes et, si possible, des exemples d'équations issus de problèmes concrets."

EXTRAIT 2010 : "le tracé des courbes intégrales apporte une dimension graphique très parlante, source de questionnements nouveaux. Un candidat a montré des courbes intégrales avec un logiciel de géométrie dynamique mais sans en comprendre le sens, maitrisant mal les notions de condition initiale et de problème de Cauchy."

429 : Exemples d'étude et de résolution de systèmes différentiels linéaires.

EXTRAIT 2011/2012 : "Des exercices très calculatoires ont parfois été proposés, pour lesquels une approche utilisant un système de calcul formel aurait été plus judicieuse."

voir aussi leçon 441

430 : Exemples d'équations différentielles issues de domaines variés (sciences expérimentales ou autres sciences).

EXTRAIT 2010 : "pour illustrer cette leçon, on pensera bien sûr aux oscillateurs linéaires amortis ou non-amortis qui interviennent en mécanique (masse suspendue à un ressort) ou en électricité (circuit RLC). On pourra aussi s'intéresser aux oscillateurs linéaires couplés : si on considère une suite constituée alternativement d'un ressort, d'une masse 1, d'un ressort, d'une masse 2, et d'un ressort, et qui est fixée en ses deux extrémités, alors les abscisses x1 , x2 des déplacements des deux masses par rapport à leurs positions d'équilibre vérifient les équations mx_1'' = -Kx_1-K(x_1-x_2) et mx_2'' = -Kx_2-K(x_2-x_1), où K désigne la constante commune des trois ressorts et m les valeurs égales des deux masses. La diagonalisation de la matrice de ce système permet d'étudier les mouvements des deux masses, et de les interpréter comme une superposition des modes propres du système (et tout ceci se généralise évidemment à un nombre supérieur de masses et ressorts). Enfin, on peut proposer un exercice simple à propos d'une équation aux dérivées partielles (comme l'équation de la chaleur, l'équation des cordes vibrantes) ou d'une équation autonome non linéaire."

431 : Exemples de recherche d'extremums d'une fonction numérique d'une ou plusieurs variables réelles.

432 : Exemples d'approximations d'un nombre réel. Illustration algorithmique.

434 : Exemples d'utilisation de changement de variable(s) en analyse.

EXTRAIT 2010 : "cette leçon peut fournir l'occasion de montrer le fonctionnement (et les limites) des systèmes de calcul formel. Un candidat a judicieusement choisi d'aborder une intégrale triple et de représenter son domaine à l'aide d'un logiciel, afin d'en faire ressortir les symétries et ainsi simplifier le calcul."

435 : Exemples de modélisation de situations réelles en probabilités.

EXTRAIT 2010 : "des exercices permettant d'étudier quelques aspects simples de marches aléatoires sur Z ou sur Z² pourront être l'occasion d'introduire naturellement des lois binomiales et de calculer la probabilité de retour à l'origine à l'instant n, ou d'obtenir le nombre moyen de passages à l'origine à l'instant n et un équivalent de celui-ci, ou encore d'étudier l'instant de premier retour à l'origine."

voir Quelques suggestions de Thierry Meyre

436 : Exemples d'applications de l'intégration par parties.

437 : Exercices faisant intervenir des variables aléatoires.

EXTRAIT 2011 : "On aimerait ici voire apparaitre quelques variables aléatoires à densité !"

438 : Exemples de problèmes de dénombrement. Utilisation en probabilités.

EXTRAIT 2012 : "Ce sujet a donné lieu à un très bon choix d'exercices avec des applications en analyse, probabilités, arithmétique, en plus des problèmes classiques de dénombrement."

439 : Exemples d'étude d'applications linéaires continues et de leur norme.

440 : Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes (longueur, courbure...)

EXTRAIT : "avec de tels intitulés, il n'est pas inutile de proposer un exercice donnant un sens géométrique clair à la notion de courbure, par exemple démontrer qu'un cercle qui est tangent en un point M(s0) à un arc birégulier et qui passe par un point M(s) admet pour limite quand s tend vers s0 le cercle centré au centre de courbure et dont le rayon algébrique est R(s0). On pourra également proposer les formules usuelles donnant les vecteurs vitesse et accélération dans le repère de Frenet, avec des applications. L'étude des mouvements à accélération centrale a toute sa place ici. On vérifie que la trajectoire de M est plane lorsqu'elle ne passe pas par le centre O. En supposant de plus l'accélération centrale newtonienne, on pourra établir, par exemple à l'aide des formules de Binet, que la trajectoire du point M est incluse dans une conique. Ce dernier point pourra également intervenir utilement dans une leçon sur les coniques."

441 : Exemples de systèmes différentiels linéaires en dimension 2 ou 3. Allure des trajectoires.

EXTRAIT 2010 : "les notions de condition initiale et de problème de Cauchy sont mal maitrisées."

443 : Exemples de méthodes et d'algorithmes de résolution approchée d'équations F(X) = 0, X désignant une variable réelle ou vectorielle.

444 : Exemples de calcul approché de la limite d'une suite, de la somme d'une série. Illustration algorithmique.

447 : Exemples d'équations fonctionnelles.

448 : Exemples d'utilisation d'intervalles de fluctuation et d'intervalles de confiance.

449 : Exemples d'équations différentielles non linéaires.

451 : Exemples d'applications des transformées de Fourier et Laplace.

452 : Exemples d'applications du théorème des fonctions implicites.

453 : Exemples illustrant l'utilisation de la loi binomiale en probabilités et en statistique.

454 : Exemples d'applications de la notion de compacité.

455 : Exemples d'étude qualitative d'équations différentielles ou de systèmes différentiels.